Algèbre linéaire Exemples

$2 x + 7 y = 9$ , $5 x + 7 y = 5$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 7 & 9 \\ 5 & 7 & 5 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} \\ 5 & 7 & 5 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} \\ 5 & 7 & 5 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} \\ 5 - 5 \cdot 1 & 7 - 5 (\frac{7}{2}) & 5 - 5 (\frac{9}{2}) \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} \\ 0 & - \frac{21}{2} & - \frac{35}{2} \end{array}]$

Étape 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{21}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{21}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} \\ - \frac{2}{21} \cdot 0 & - \frac{2}{21} (- \frac{21}{2}) & - \frac{2}{21} (- \frac{35}{2}) \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} \end{array}]$

Étape 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{7}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{7}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{7}{2} \cdot 0 & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 & \frac{9}{2} - \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = - \frac{4}{3}$

$y = \frac{5}{3}$

Étape 4

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- \frac{4}{3}, \frac{5}{3})$

Étape 5

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{4}{3} \\ \frac{5}{3} \end{array}]$